Cos'è lo spin semi-intero / What is half-integer spin

Cos'è lo spin semi-intero / What is half-integer spin

Segnalato dal Dott. Giuseppe Cotellessa / Reported by Dr. Giuseppe Cotellessa

Fig. 1 - Sfera parametrica / Parametric sphere

In occasione della scoperta delle particelle di Weyl, soluzioni di una particolare equazione scoperta da Weyl giocando un po' con la più famosa equazione di Dirac, su Le Scienze, la redazione della rivista a proposito dello spin ha scritto:

Una delle caratteristiche quantistiche fondamentali delle particelle è lo spin, indicato con un numero adimensionale, che può essere immaginato come la rotazione di una particella attorno al proprio asse.

La similitudine classica tra spin e rotazione di una pallina intorno al proprio asse, che non è corretta, è dovuta, essenzialmente, al fatto che lo spin emerge quando si va a studiare il gruppo delle rotazioni, e questo ovviamente genera un'ambiguità dovuta probabilmente alla difficoltà di reperire dettagli tecnici sulla questione. 

Teoria delle rappresentazioni

Un gruppo, come scritto molte volte, è un insieme di oggetti matematici con un'operazione interna che possiede le seguenti tre proprietà: associativa, esistenza dell'elemento neutro, esistenza dell'inverso. A puro titolo di esempio, se prendiamo i numeri naturali con l'operazione di somma otteniamo una struttura di gruppo:

• Proprietà associativa: (a+b)+c=a+(b+c)
• Elemento neutro: a+0=0+a=a
• Inverso: a+(−a)=0

Un gruppo di simmetria è invece un insieme di operazioni di simmetria, come per esempio le traslazioni (spostamenti nello spazio) o le rotazioni, di cui ci occuperemo più avanti.
Quando si studia un gruppo di simmetria, che ha un'importanza fondamentale per la fisica, si utilizzano le così dette rappresentazioni, ovvero delle "trasposizioni matematiche" degli elementi del gruppo, in maniera tale da derivare più semplicemente le proprietà della rappresentazione.
Ad esempio una delle rappresentazioni più amate dai fisici è la rappresentazione matriciale (dove per matrice si intende una tabella di numeri con n righe ed m colonne, dove n, m sono in generale diversi).
Le rotazioni, come scritto poc'anzi, formano un gruppo, tecnicamente chiamato SO(3), che possiede varie rappresentazioni: la forza della teoria è che le proprietà di ciascuna rappresentazione sono identiche, anche se alcune rappresentazioni possono essere più semplici di altre da studiare.

Fattore di fase

Secondo quella che viene usualmente chiamata come teoria delle rappresentazioni proiettive, la rappresentazione più generale possibile in un gruppo implica l'esistenza di un fattore di fase. Ovvero, supponiamo che il nostro gruppo sia costituito dagli elementi A, B, C, ⋯ Allora esiste una rappresentazione R del gruppo che è proiettiva se

R(A)R(B)=ef(A,B)R(B)R(A)

dove f(A,B)è il fattore di fase. Se questo coincide con il fattore banale 0, allora la rappresentazione si dice unitaria:

R(A)R(B)=R(B)R(A)

Lo spin è legato proprio al fattore di fase del gruppo delle rotazioni. Non però a come si ruota, ma a qualcosa di più sottile che proverò a spiegarvi con la seguente immagine di Fig. 1..

Costruiamo una sfera di raggio π, che chiameremo sfera parametrica. Su ciascun punto della sfera andremo a identificare una data rotazione. Posso poi definire un percorso: prendiamo una data rotazione sulla sfera parametrica e applichiamo una seconda rotazione. Il punto si sposterà da qualche altra parte sulla sfera parametrica. Si definisce allora percorso l'insieme delle rotazioni infinitesime che mi permettono di spostarmi dal punto iniziale al punto finale lungo la sfera parametrica. Ovviamente per collegare due punti qualsiasi sulla sfera esistono più percorsi, che possiamo classificare in due grandi classi: i percorsi che non contengono salti ed i percorsi che contengono un salto, dove per salto si intende un punto di discontinuità lungo il percorso, ovvero a un certo punto il percorso prosegue in un punto sulla sfera parametrica che non segue in maniera continua al punto precedente (che non è direttamente collegato al punto precedente, per essere più terra terra!).
Possiamo associare ad ognuno dei percorsi un fattore differente: +1 per i percorsi appartenenti alla prima classe, -1 per i percorsi appartenenti alla seconda classe. Otteniamo così una rappresentazione del gruppo delle rotazioni che, senza scendere in dettagli eccessivamente tecnici, è proiettiva.

Le rotazioni in fisica

In fisica il modo usuale per rappresentare le rotazioni è utilizzare delle matrici 2×2. La particolare rappresentazione utilizzata prevede la presenza delle matrici di Pauli: tale rappresentazione viene indicata con il nome di SU(2).
Anche questa rappresentazione presenta un fattore di fase, che vale ±12, fisicamente associato al momento angolare di una particella che risponde alla statistica di Fermi (ovvero a un fermione, particelle che non amano stare particolarmente vicine). Poiché, come detto prima, posso passare da una rappresentazione differente all'altra, è semplice dedurre che il fattore di fase di SU(2) è associato al fattore di fase della sfera parametrica.
Possiamo quindi concludere che lo spin di un fermione è una proprietà topologica (semplificando, geometrica) della particella dovuta alle rotazioni (o ai modi in cui la particella risponde all'azione delle rotazioni) e fisicamente associata al momento angolare della particella. Quest'ultimo, però, non è l'analogo classico del momento angolare, ma è invece il momento angolare orbitale (associato per esempio alla rotazione dell'elettrone intorno al nucleo, e quindi al tipo di orbitale) ad essere, anche matematicamente parlando, il suo analogo classico.

Il punto nodale della scoperta è che sono state rilevate delle particelle (o qualcosa che assomiglia a delle particelle) prive di massa ma con spin semi-intero, ovvero gli oggetti descritti dall'equazione di Weyl, che vanno (o andranno, quando ci saranno altri esperimenti che confermeranno l'osservazione) così ad aggiungersi alle particelle descritte dall'equazione di Dirac, ovvero particelle questa volta massive con spin semi-intero.

ENGLISH

On the occasion of the discovery of Weyl particles, solutions of a particular equation discovered by Weyl playing a bit with the more famous Dirac equation, in Le Scienze, the editorial staff of the journal wrote about spin:

One of the fundamental quantum characteristics of particles is spin, denoted by a dimensionless number, which can be thought of as the rotation of a particle around its axis.

The classic similarity between spin and rotation of a ball around its axis, which as is not correct, is essentially due to the fact that the spin emerges when one goes to study the group of rotations, and this obviously generates a ambiguity probably due to the difficulty of finding technical details on the matter.

representation theory

A group, as written many times, is a set of mathematical objects with an internal operation that has the following three properties: associative, existence of the neutral element, existence of the inverse. Purely by way of example, if we take the natural numbers with the addition operation we obtain a group structure:

Associative property: (a+b)+c=a+(b+c)

Neutral element: a+0=0+a=a

Inverse: a+(−a)=0

A symmetry group is instead a set of symmetry operations, such as translations (displacements in space) or rotations, which we will deal with later.

When a symmetry group is studied, which has a fundamental importance for physics, the so-called representations are used, i.e. "mathematical transpositions" of the elements of the group, in such a way as to more simply derive the properties of the representation.

For example, one of the most popular representations among physicists is the matrix representation (where by matrix we mean a table of numbers with n rows and m columns, where n, m are in general different).

The rotations, as written above, form a group, technically called SO(3), which has various representations: the strength of the theory is that the properties of each representation are identical, even if some representations may be simpler than others to study.

Phase factor

According to what is usually called projective representation theory, the most general possible representation in a group implies the existence of a phase factor. That is, suppose our group consists of the elements A, B, C, ⋯ Then there exists a representation R of the group which is projective if

R(A)R(B)=ef(A,B)R(B)R(A)

where f(A,B) is the phase factor. If this coincides with the trivial factor 0, then the representation is said to be unitary:

R(A)R(B)=R(B)R(A)

The spin is related precisely to the phase factor of the rotation group. But not to how it rotates, but to something more subtle that I will try to explain to you with the following image in Fig. 1.

We construct a sphere of radius π, which we will call a parametric sphere. On each point of the sphere we will identify a given rotation. I can then define a path: we take a given rotation on the parametric sphere and apply a second rotation. The point will move to somewhere else on the parametric sphere. The set of infinitesimal rotations that allow me to move from the initial point to the final point along the parametric sphere is then defined as the path. Obviously, to connect any two points on the sphere there are several paths, which we can classify into two large classes: paths that do not contain jumps and paths that contain a jump, where by jump we mean a point of discontinuity along the path, i.e. at a certain point the path continues to a point on the parametric sphere that does not follow continuously to the previous point (which is not directly connected to the previous point, to be more down to earth!).

We can associate a different factor to each of the paths: +1 for paths belonging to the first class, -1 for paths belonging to the second class. We thus obtain a representation of the group of rotations which, without going into excessively technical details, is projective.

Rotations in physics

In physics, the usual way to represent rotations is to use 2×2 matrices. The particular representation used foresees the presence of Pauli matrices: this representation is indicated with the name of SU(2).

This representation also has a phase factor, which is ±12, physically associated with the angular momentum of a particle that responds to the Fermi statistic (that is, with a fermion, particles that do not like being particularly close). Since, as said before, I can switch from one different representation to another, it is easy to deduce that the phase factor of SU(2) is associated with the phase factor of the parametric sphere.

We can therefore conclude that the spin of a fermion is a topological (simplifying, geometric) property of the particle due to rotations (or to the ways in which the particle responds to the action of rotations) and physically associated with the angular momentum of the particle. The latter, however, is not the classic analogue of the angular momentum, but it is instead the orbital angular momentum (associated for example with the rotation of the electron around the nucleus, and therefore with the type of orbital) which is, also mathematically speaking, its classic analogue.

The crux of the discovery is that particles (or something resembling particles) without mass but with semi-integer spin have been detected, i.e. the objects described by the Weyl equation, which go (or will go, when there will be other experiments that will confirm the observation) thus adding to the particles described by the Dirac equation, ie massive particles this time with semi-integer spin.

Da:

https://dropseaofulaula.blogspot.com/2015/07/cose-lo-spin-semi-intero.html